Tölur, stórar sem smáar, leika stórt hlutverk í lífi okkar. Öll viðskipti grundvallast á misháum tölum og mjög oft þarf að henda reiður á fjölda ýmissa fyrirbæra s.s. fjölda lífvera, fjölda efniseinda í alheiminum o.s.frv. Við mannfólkið eigum misauðvelt með að velta fyrir okkur tölum og leika okkur með þær en flest okkar þurfa sjaldan að hugsa um stærri tölur en nokkrar milljónir, t.a.m. í tengslum við húsnæðiskaup, á meðan Björgúlfar landsins þurfa að gíra sig upp í milljarðana.
Tölur virðast t.a.m. valda fréttamönnum hugarangri. Skekkjur koma gjarnan upp þegar verið að reikna út ýmsar stærðir eða breyta milli gjaldmiðla. Um daginn var frétt þess efnis að netfyrirtækið Google væri talið metið á um 20 milljarða dollara eða um 1.500-1.600 milljarða króna en www.mbl.is sá ekki ástæðu til að tala um hærri upphæð en 1,6 milljarða. Annað dæmi er um misreikning á lengd símreikinga Landssímans, sem komst á baksíðu Morgunblaðsins um daginn, en þar voru útgefnir reikningar þeirra taldir ná til Tunglsins yrðu þeir lagðir saman. Þetta gaf þá niðurstöðu að annað hvort væru viðskiptavinir Símans hátt í milljarður eða að hver símreikningur væri hátt í kílómetri að lengd. Ekki eru starfsmenn Morgunblaðsins einir um að gera slíkar villur, né Morgunblaðið eitt fjölmiðla um það, en þetta kannski sýnir hversu treglega mannfólkið áttar sig á stórum tölum. Gaman er í því sambandi að skoða nokkrar stórar tölur og kannski átta sig á því hvernig nafnakerfi talna er byggt upp.
Athugið að rithátturinn x^y táknar veldi hér á eftir þ.e. t.d. 10^2 jafngildir 10 í öðru veldi.
Það vita flestir að í milljón eru sex núll og í milljarði níu. Talnakerfið heldur svo áfram og á sex núlla fresti verður til nýtt orð byggt á latneskum heitum raðtalnanna. Þ.e. billjón (bi = tveir) hefur 12 núll og billjarður 15. Trilljón (tri = þrír) hefur 18 núll og trilljarður 21. Þar á eftir kemur svo kvartilljón (kvart = fjórir) með 24 núllum, kvintilljón (kvint = fimm) með 30 núllum og svona heldur þetta áfram þar til komið er að sentilljón (sent = hundrað), sem er stærsta tala sem nafnakerfið okkar nær yfir, þ.e. einn með sex hundruð núllum! Sem dæmi um hversu gríðarlega stór tala sentilljón er að þá er talið að fjöldi efniseinda (atóma) í alheiminum sé af stærðargráðunni 10^80 þ.e. 1 með 80 núllum. Talan sentilljón gæti því táknað fjölda efniseinda í 10^520 alheimum sambærilegum okkar, margir alheimar það! Sentilljón er þó ekki stærsta talan sem stærðfræðingar hafa hugtak yfir. Til er fjöldinn allur af tölum sem fengið hafa nafn, sumar af praktískum ástæðum, eins og móltala, en aðrar af óljósari ástæðum.
Móltala
Móltala er tala sem er mikið notuð í efnafræði. Talan er þannig fundin út að eitt mól af efniseindum vegur akkúrat jafnmörg grömm og formúlumassi efnasambandsins í atómmassaeiningum (u). Eitt mól inniheldur u.þ.b. 6,02×10^23 efniseindir. Ef notast væri við hefðbundið nafnkerfi til að lýsa móli mætti segja að eitt mól jafngilti 602.000 trilljónum eða 0,602 kvartilljónum.
Gúgul (já, leitarvélin fræga heitir eftir þessari tölu)
Talan gúgúl táknar tölustafinn einn með hundrað núllum þar fyrir aftan (10^100). Gúgúlplex er hins vegar enn hærri tala. Einn góður félagi pistlahöfundar lýsti eitt sinni tölunni gúgulplex sem það stórri að gúgúlplex deilt með gúgúlplex væri fimm! Vissulega var það ekki rétt hjá honum en rétt var það að talan er ákaflega stór. Gúgúlplex er nefnilega 10^gúgúl (1 með gúgúl núllum). Þessi tala er svo stór að ekki er nokkur leið til að tákna hana öðruvísi en með veldisrithætti og talan sentilljón bliknar gjörsamlega í samanburði við gúgúlplex.
Óendanlegar heiltölur
Stærðfræðingurinn George Cantor var fyrstur til að velta fyrir sér óendanlegum tölum. Hann sýndi fram á með einföldum hætti að náttúrulegu tölurnar (heilar tölur) eru færri en rauntölurnar þó að fjöldi bæði náttúrulegra- sem og rauntalna sé óendanlegur. Hann skilgreindi fjölda náttúrulegra talna sem Alep0 og er hún jafnframt minnsta óendanlega heiltalan, hljómar kannski skringilega. Alep1 er svo næsta óendanlega talan sem er stærri en Alep0. Það eru uppi kenningar um að Alep1 jafngildi tölunni C sem stærðfræðingar nota yfir fjölda talna í mengi rauntalna. Þetta er víst ekki hægt að sanna og m.a.s. hægt að sanna að þetta sé ekki hægt að sanna! En mikið væri nú gaman ef þetta væri rétt. Alep tölurnar halda svo áfram þ.e. Alep0, Alep1, Alep2 o.s.frv.
Stærsta tala í heimi er að sjálfsögðu ekki til. Hins vegar ætti að vera ljóst af þessu hér að ofan að til eru hugtök yfir svo stórar tölur að við munum ekki nokkurn tímann þurfa á þeim að halda í okkar lífi. Það er þó vonandi að þessi litli pistill verði til þess að meðferð talna á opinberum vettvangi verði vandaðri í framtíðinni.
- Eru skuldir heimilanna ofmetnar um 70 milljarða? - 23. febrúar 2009
- Augun full af ryki og nefið af skít! - 8. janúar 2009
- Reið framtíð? - 6. desember 2008