Jafna vikunnar

Fyrir þeim sem kynnist jöfnum í skóla virðist það vera algerlega sjálfsagt að hægt sé á einfaldan hátt að tákna allar reglur og kennisetningar vísindanna með jöfnum og stærðfræðilegum rithætti. Þessi ritháttur hefur þó þróast í gegnum aldirnar og raunar hélt það lengi vel aftur af fræðimönnum að ekki var hægt að tákna öll hugtök með táknum á blaði.

Sú var til dæmis raunin varðandi núllið, sem okkur finnst ósköp venjulegt í dag. Það er erfitt að ímynda sér annað en að jafnvel frumstæður hellismaður hafi haft skilning á hugtakinu „ekkert“, en samt sem áður áttu Rómverjar enga leið til að tákna það hugtak með tölum.

Túlkun rökfræði með hjálp tákna af því tagi sem við þekkjum í dag er enn nýrri af nálinni. Sagt hefur verið að formleg rökfræði hafi fæðst með bók Gottlob Frege „Begriffsschrift“, eða Hugtakaskrift. Bókin var ekki skrifuð fyrr en 1879 og þróun á slíkri rökfræði hélt fram vel fram yfir aldamótin 1900.

Að sjálfstögðu er stærðfræðin sú fræðigrein sem nýtir sér í mestum mæli jöfnur og reiknitákn. Þeir eru til sem kalla stærðfræðina drottningu vísindanna og vísa þá til hreinleika hennar og þess hversu óháð hún er umheminum. Gagnslaus, eins og einhver kynni að segja. Það kemur því kannski ekki á óvart að sú jafna sem kölluð hefur verið „fegursta jafna í heimi“, hlaut titilinn eingöngu fyrir formfegurð og hreinleika, en ekki fyrir gagnsemi hennar. Þetta er jafnan:

Það sem gerir þessa litlu jöfnu merkilega er að í henni er að finna mikilvægustu reikniaðgerðirnar, (samlagningu, margföldun og veldishafningu), mikilvægustu fastana (e, i og π), auk grunntalna náttúrulega talnakerfisins, tölurnar 1 og 0.

Í eðlisfræði eru gerðar meiri kröfur um einhvers konar gagnsemi og sennilega yrðu fáir til að deila um hvaða jafna fengi heiðurssæti þar, þótt sumir myndu kannski segja að hún hafi gert meira ógagn en gagn. Þetta er jafnan sem lýsir sértæku afstæðiskenningu Einsteins:

Í þessari jöfnu liggur lykillinn að möguleikanum til að nýta kjarnorku, og reyndar útskýring á allri þeirri orku sem við sjáum dags daglega. Þetta lögmál útskýrir bæði þá orku sem býr í efni og eins þá orku sem felst í ljósinu sem fellur á jörðina. Jafnan segir að orka tiltekins efnismassa sé í réttu hlutfalli við massa efnisins, en hún gefur líka hlutfallið þar á milli, sem er ljóshraðinn í öðru veldi. Í þeim mælieiningum sem við notum dags daglega er þetta hlutfall gríðarlega stórt, enda byggir kjarnorkan á því hlutfalli. Þetta þýðir að ef einum lítra af vatni yrði breytt í orku samkvæmt þessari jöfnu, fengjust 25 teravattsstundir, sem er álíka mikið og Kárahnjúkavirkjun mun afkasta á fimm árum.

Afstæðiskenningin skiptir miklu máli fyrir ytri orkubúskap mannsins, en þegar kemur að innri orkubúskap líkamans er sú jafna sem læknar kynnu að velja talsvert heppilegri:

Þessi jafna er ekki flókin, hún segir einfaldlega að magn þess blóðs sem hjartað dælir á einni mínútu (Cardiac Output), jafngildir slagafjölda á mínútu (Heart Rate) sinnum slagrýmd hjartans (Stroke Volume). Í fullvöxnum karlmanni er slagrýmd hjartans um einn desilítri, sem þýðir að á einni mínútu nær hann að dæla öllu blóðinu í líkamanum, einum fimm lítrum, í gegnum hjartað.

Þær jöfnur sem urðu fyrir valinu úr hagfræði, tölvunarfræði og stjörnufræði, eiga það allar sameiginlegt að fjalla um þenslu, þótt ritháttur þeirra sé mjög ólíkur. Phillips kúrvan er fyrirbrigði sem hefur verið rannsakað mjög mikið í hagfræði og fjallar um þenslu verðlags, eða verðbólgu. Enn skeggræða menn um það hvernig sú kúrva líti út og jafnvel hvort hún sé raunverulega til. Hvort sem svo er eða ekki, þá er jafnan óumdeilanlega til. Í mörgum útgáfum reyndar, t.d.

Þessi jafna lýsir því að ef atvinnuleysi (u_t) fer niður fyrir svokallað „náttúrulegt atvinnuleysi“ (u*), þá verður verðbólgan (π_t) hærri en vænt verðbólga (π_t ^e). M.ö.o. segir hún að hægt sé að nokkru leyti að velja á milli verðbólgu og atvinnuleysis.

Allir þekkja hversu ör þróunin hefur verið undanfarna áratugi í tölvuheiminum og þeirri þróun var fyrst lýst í kringum 1970 þegar Gordon Moore setti fram lögmál sitt:

Samkvæmt þessu lögmáli tvöfaldast þéttni smára, eða transistora, á 18 mánaða (eða eins og hálfs árs) fresti. Reiknigeta tölva er í réttu hlutfalli við fjölda smára, svo þetta lögmál er grundvöllur þeirrar stórkostlegu sprengingar sem orðið hefur í afli tölva á undanförnum áratugum. Fastinn K er í kringum 60, sem þýðir að árið 1970 var hægt að setja um 60 smára á hvern fersendimetra af sílíkoni. Nú, árið 2003, er þessi tala mæld í hundruðum milljóna.

Jafnan úr stjörnufræði, og sú síðasta í þessari upptalningu, lýsir hvorki meira né minna en þenslu alheimsins:

Þessi jafna segir að aðrar vetrarbrautir í alheiminum eru á hraðferð í burtu frá okkur. Þær fjarlægjast okkur með hraðanum v, sem er í réttu hlutfalli við fjarlægðina frá okkur (d). Hlutfallið þarna á milli er svonefndur Hubble fasti. Nákvæmt gildi á þessum fasta er ekki þekkt, en er talið vera um 20 km/sek/megaljósár. Þetta þýðir að vetrarbrautir sem eru eitt megaljósár (milljón ljósár) frá okkur, fjarlægjast okkur með hraðanum 20 km/sek.

En þetta er ekki allt. Grunneining Hubble fastans er á forminu: „lengd/tími/lengd“, sem má einfalda yfir í „1/tími“. Þetta þýðir að margföldunarandhverfan, 1/H₀, gefur okkur ákveðna tímalengd. Og ekki hvaða tímalengd sem er, því 1/H₀ er hvorki meira né minna aldur alheimsins! Þetta finnst stjörnufræðinördum og öðrum vísindanördum gríðarsvalt.

Þar sem þú, lesandi góður, hefur þrælað þér í gegnum allan þennan pistil er líklegra en ekki að í þér búi að minnsta kosti vísir að slíkum nörd. Það er vonandi að þú hafir haft jafngaman að margföldunarandhverfu Hubble fastans, sem og öðrum þeim fróðleiksmolum sem felast í þessum „jöfnum vikunnar“, og pistlahöfundur.